16, 23 y 30 noviembre 2011
Ciclos de Miércoles:

Introducción

Desde Pitágoras y la teoría musical de la Grecia clásica, la relación entre números y sonidos ha sido una constante a lo largo de la historia. Así, durante la Edad Media la música fue uno de los cuatro “saberes exactos” del Quadrivium junto a la aritmética, la geometría y la astronomía, en sintonía con la condición de disciplina matemática que entonces tenía. Más allá de su dimensión teórica, la práctica musical también ha mostrado la aplicación de procedimientos matemáticos a la composición. Han sido muy numerosos los autores, de estilos y cronologías diversas, que han usado principios matemáticos en su obra: simetrías, procedimientos canónicos, transformaciones motívicas o secuencias aritméticas como la serie de Fibonacci o la proporción áurea. Desde Dufay y Bach hasta Cage y Xenakis, pasando por Debussy, Berg y Bartók, entre otros muchos, abundan los ejemplos de composiciones concebidas desde la matemática musical. Este ciclo propone una aproximación centrada en la dimensión matemática de obras musicales compuestas entre el siglo XV y el siglo XX. Cada uno de los tres conciertos del ciclo explora una vertiente concreta de esta compleja relación entre música y números. El primero, “La arquitectura del canon”, interpretado por un cuarteto de violas da gamba, se centra en un repertorio concebido con principios canónicos, con El arte de la fuga de Bach como obra cumbre. El segundo concierto, para piano a solo, gravita entorno al número 24 como emblema del sistema tonal occidental. Este programa presenta unos recorridos musicales insospechados generados al combinar preludios de distintos periodos y colecciones (típicamente articuladas por 24 obras, una por tonalidad). Por último, en el concierto final, “Proporciones”, se interpretan obras de tres autores del siglo XX en cuya obra el orden matemático es un rasgo esencial: Bartók, Messiaen y Cage.

F.J.M.

INTRODUCCIÓN GENERAL

La música es una matemática misteriosa ...

Claude Debussy

En el último capítulo de su Micrologus (hacia 1025-26), Guido d’Arezzo, recordando las circunstancias legendarias que llevaron a Pitágoras a inventar el monocordio, escribe que éste “entendió así que la ciencia de la música reside en la proporción y la relación entre los números”. Siete siglos más tarde, Rameau afirmaría en su tratado Generación armónica (1737): “La música es una ciencia físico-matemática; el sonido es su objeto y las relaciones que existen entre diferentes sonidos son su objeto matemático. Su finalidad es agradar y excitar en nosotros diversas pasiones”. Dos siglos y medio después, Xenakis, el músico-arquitecto, declara a su vez: “La música ha sido siempre, y sigue siendo, a la vez sonido y número, acústica y matemática, lo que fundamenta su universalidad. En el mundo entero, e incluso para expresar la sensualidad o los sentimientos, que la música sugiere admirablemente, los músicos proceden agrupando los sonidos por altura e intensidad según leyes matemáticas que no cambian”.

Las tres citas con las que encabezamos este texto ponen de manifiesto la relación íntima que existe entre la música y el número; sabemos, en efecto, desde Pitágoras y sus discípulos, que los intervalos entre las notas se corresponden con divisiones de una cuerda vibrante y que estas diferencias de altura entre los sonidos pueden expresarse mediante relaciones numéricas: la octava = 2/1, o la quinta = 3/2. Por otra parte, el sonido es una onda cuyo movimiento vibratorio es percibido por el oyente; la altura de una nota, su “frecuencia”, es el número de estas vibraciones por segundo: la frecuencia del La del diapasón, de acuerdo con el cual afinan conjuntamente los músicos, es de 440 vibraciones por segundo, es decir 440 hertzios; al aumentar o disminuir la frecuencia, aumenta o disminuye, respectivamente, la altura. Asimismo, el ritmo, elemento fundamental de la música es producto de subdivisiones del tiempo, regulares e irregulares, y de la combina7 ción de dichas duraciones que se miden también por medio de relaciones numéricas.

En realidad, todos los demás parámetros de la música pueden medirse: la armonía, constituida por notas que suenan simultáneamente y se encadenan; el timbre (sonido característico de un instrumento), determinado por el número, las frecuencias y las amplitudes de los armónicos; la dinámica, cuyos grados de intensidad se miden en watios. La propia estructura puede medirse: del mismo modo que las proporciones de la Pirámide de Keops, del Partenón de Atenas o del cuadro de Sandro Botticelli titulado El nacimiento de Venus están basadas en la sección áurea, un compositor puede ajustar la construcción formal de una obra musical mediante la “divina proporción”.

Sin embargo, si la música está relacionada en todos sus parámetros con la matemática y la física, su finalidad no es ser puro objeto de especulación teórica, sino expresión, a través del disfrute de nuestro oído, de “sensualidad, sentimientos, pasiones…”, como anotan más arriba Rameau y Xenakis, dos creadores que aunaron el espíritu científico con la sensibilidad artística, y que no son sospechosos de sentimentalismo. Bien es cierto, por otra parte, que si la música expresa algo es, como afirma Stravinsky en su famosa sentencia de 1935 (Crónicas de mi vida), una “ilusión”, y no su “esencia”. En efecto, el compositor sugiere sensaciones, lugares, situaciones, estados de ánimo, sentimientos, e incluso pasiones, mediante analogías sonoras, figuras retóricas o simbólicas, motivos conductores (como el Leitmotiv wagneriano) que han de ser conocidos de antemano y, después, reconocidos: en unos casos, como la musica reservata (1552-1625), los símbolos musicales no son evidentes para el oyente, y sólo perceptibles por un círculo restringido y refinado de iniciados; en otros, las analogías sonoras forman parte desde hace siglos de nuestro patrimonio cultural: un ejemplo sencillo lo constituye la asociación de la altura de un sonido con el espacio (agudo = alto; grave = bajo), que existe desde que en el siglo IX se comenzara a fijar gráficamente el movimiento ascendente, descendente o fijo de una nota; asimismo, el subconsciente de un oyente reconoce que una línea cromática descendente, y más aún si contiene síncopas, trasmite, según los casos, inquietud, nostalgia, tristeza, sufrimiento, dolor, lamentación… Veamos, a continuación, algunas de las formas sobresalientes en que música y matemática se relacionan.

Simbolismo numérico

Lo simbolizado aparece como cualidad o forma superior,
también como esencia que justifica la existencia
de lo simbolizante y que la explica.

Juan Eduardo Cirlot

En 1738, Lorenz Christoph Mizler, antiguo discípulo de Bach, fundó una Sociedad de Ciencias Musicales, la Korrespondierende Societät der musicalischen Wissenschaften, entidad que estudiaba, en particular, las relaciones entre música y matemática. A pesar de la insistencia de Mizler, Bach ingresó en la Sociedad sólo en 1747. La razón es que quería ser el decimocuarto miembro de dicha corporación, ya que el número 14 era –siguiendo las equivalencias numéricas del alfabeto (A = 1; B = 2; C = 3…)– el símbolo numérico de su apellido: B +A + C + H = 14 (2 + 1 + 3 + 8). Asimismo, cerraba muchas de sus partituras, en particular sus Cantatas, con las letras SDG (Soli Deo Gloria) que, según el mismo simbolismo, tienen idéntico valor numérico que las iniciales de sus nombres y apellido (en el alfabeto numérico alemán la I y la J se representan con el mismo número: 9): J + S + B = 29 (9 + 18 + 2); S + D + G = 29 (18 + 4 + 7).

Como anécdota curiosa, señalemos que al ingresar en la Sociedad de Mizler, cada nuevo miembro tenía que entregar su retrato a tamaño natural y un trabajo que atestiguara un gran dominio de la ciencia de la música. En el retrato, realizado por Elias Gottlob Haussmann en 1746, Bach sostiene en la mano derecha un manuscrito en el que se pueden leer los tres diseños melódicos de un complejísimo triple canon enigmático a seis voces (BWV 1076) (véase el retrato en p. 17). Recordemos que el canon es una técnica compositiva en la que una figura melódica, rítmica o melódico-rítmica es imitada por una o más voces que entran sucesivamente. El canon es enigmático cuando el compositor no da la solución de cómo y cuándo entran la o las voces que imitan a la primera. En casos complejos, como el triple canon BWV 1076, que superpone tres cánones simples, existen muchas soluciones posibles; se trata entonces de un canon polimórfico y el músico ha de resolver el enigma con la mayor ciencia posible.

Esta pasión por la numerología, los enigmas y el virtuosismo de la escritura polifónica, es muy propia de la época de Bach, pero éste utilizó también las técnicas imitativas y la numerología para subrayar el significado teológico o espiritual de sus obras. Citemos tres ejemplos: la escritura canónica del cantus del coral para órgano BWV 678, Dies sind die heilgen zehn Gebot [He aquí los diez, los santos mandamientos] es el símbolo de quien da la Ley, Dios, y de quien la recibe y ha de seguirla, el hombre; el bajo ostinado cromático del Crucifixus de la Misa en Si menor se repite trece veces para marcar el carácter ineluctable de la Pasión de Cristo; en el breve número coral Wahrlich, dieses ist Gottes Sohn gewesen [Verdaderamente, éste era Hijo de Dios], nº 73 de la Pasión según San Mateo, la línea melódica de los bajos se compone de 14 notas, como el número simbólico de la Resurrección y… como el símbolo del propio Bach.

Olivier Messiaen también fue un músico profundamente creyente y quiso expresar en sus obras, como declaró a Claude Samuel, “lo maravilloso de la Fe”. El ritmo fue una de sus mayores preocupaciones como compositor y le concedía una importancia primordial en la definición misma de lo que es la música. Comparando, por ejemplo, sonido y ritmo, escribió: “Para el Ritmo, el sonido –musical o no– no es frecuentemente más que su coloración: es el intermediario entre las Duraciones, el Número y nuestra percepción”. La música hindú, de la que escribió que “ciertamente es la que más lejos ha ido en el orden rítmico, y especialmente en el aspecto cuantitativo (combinaciones de duraciones largas y breves)”, le inspiró el principio del valor añadido según el cual “todo ritmo simple puede complicarse mediante la adición de una duración breve o valor añadido”. El empleo de este procedimiento aporta flexibilidad y sutileza a la línea melódica que escapa así de la tiranía de una métrica regular.

Por otra parte, Messiaen tuvo especial predilección por los números primos: “Sabemos que los números primos son números enteros que no tienen más divisor que ellos mismos y la unidad [...]. Esta imposibilidad les otorga una especie de potencia muy efectiva en el ámbito del ritmo. Encontramos en los hindúes ritmos basados en los números 5 (número de los dedos de la mano), 7, 11, todos números primos”. En la pieza nº XI (Primera comunión de la Virgen) de sus Veinte Miradas sobre el Niño Jesús para piano, Messiaen sugiere mediante los números una impresionante trasmutación sensorial: los “latidos del corazón del Niño en el seno materno” son representados por notas repetidas en el registro grave del teclado cuyo número va aumentando progresivamente de 9 a 15: 9-11, 10-12, 11-13, 12-14, 13-15.

También se relacionan con la rítmica hindú los ritmos no retrogradables de Messiaen, uno de sus “descubrimientos preferidos”. En efecto, este ritmo palindrómico, que sigue siendo el mismo leído de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, y que ya existía en la métrica de la antigua Grecia –el ritmo crético (larga-breve-larga)–, es la Deçî-tâla n° 58, llamada "Dhenkî”(negra-corchea-negra), que Messiaen describe así: “Es sin duda muy antiguo, como todos los ritmos basados en el número 5 […]. El Dhenkî (lo repito con fuerza) es el más antiguo, simple y natural de los ritmos no retrogradables”. Messiaen reconoce, claro está, que, aunque esté retrogradada, una fórmula rítmica se dirige siempre hacia el futuro, pero insiste en que “la memoria reconoce en la retrogradación el texto primitivo volviendo al pasado”. La gran originalidad de Messiaen es haber demostrado la importancia filosófica, simbólica y musical de la no retrogradación –en la que, en torno a un valor central, no se puede distinguir el pasado del presente–, haber desarrollado una teoría musical en torno a los ritmos no retrogradables y haberlos utilizado profusamente en su obra de compositor.

Arquitecturas sonoras

En el umbral de la Belleza, el arte y la ciencia han de colaborar.

Edgar Varèse

Goethe señaló, en un bella fórmula, que “la arquitectura es una música petrificada”, y Xenakis, dándole la vuelta a la cita, observó que “la música es una arquitectura móvil”, interesante idea que podría constituir una definición de la forma musical, que, en nuestra opinión, no es una mera estructura que yuxtapone secciones y partes, sino una arquitectura sonora dinámica. Como bien escribe Boris de Schloezer, la forma es la obra “considerada en su aspecto dinámico, en su función generadora con respecto a las partes”.

Es cierto que la música, arte temporal, y la arquitectura, arte espacial, tienen muchas afinidades: ambas aúnan arte y ciencia, belleza y razón, otorgan una importancia destacada a los componentes técnicos y formales y se fundamentan en las leyes de la física y de la matemática. Incluso podemos “leer” ritmos en muchos edificios, especialmente en las fachadas y los pórticos de numerosos templos religiosos, que ofrecen a nuestra mirada simetrías bilaterales en torno a un eje central, es decir, ritmos no retrogradables. Sin embargo, existe entre música y arquitectura una diferencia fundamental que Hegel, en su Curso de Estética, definió así: “… el arte de los sonidos se mueve en una esfera completamente distinta de la arquitectura. En las dos artes, las leyes de la cantidad y de la medida proporcionan, es cierto, la base; pero los materiales coordinados siguiendo estas leyes son de naturaleza directamente opuesta. La arquitectura se apodera de la masa física pesante, de su espacialidad inerte y de sus formas exteriores. La música, por el contrario, utiliza el sonido, elemento lleno de alma y de vida, que se libera del espacio […] y se precipita, en su carrera veloz, a través del tiempo”.

La forma más sencilla y evidente de unir música y arquitectura consiste en aplicar a una obra musical las proporciones de una creación arquitectónica. Así, por ejemplo, en el siglo XV, Guillaume Dufay, para componer su motete Nuper rosarum flores con ocasión de la consagración de la Catedral Santa Maria dei Fiore en Florencia, se inspiró en las proporciones de dicho templo. Como lo han demostrado varios musicólogos –en particular Martin Trachtenberg, si bien Craig Wright piensa que el motete se inspira en la descripción bíblica del Templo de Salomón–, las cuatro partes del motete tienen la misma relación proporcional (6:4:2:3) que la nave, el transepto, el ábside y la cúpula de la catedral entre sí. Es un caso de aplicación de proporciones espaciales a una arquitectura sonora.

Un procedimiento parecido, pero más sutil, consiste en utilizar en la composición normas de proporción, como la sección áurea, o series aritméticas como la serie de Fibonacci, de las que proponemos las siguientes definiciones:

– La sección áurea existe cuando, en una recta AB, el segmento menor AC dividido por el mayor CB es igual al cociente del mayor CB por el todo AB (AC/CB = CB/AB). Es decir que la razón entre la parte menor y la mayor ha de ser la misma que entre la mayor y el todo. El valor numérico de esta proporción es el número de oro F = 1,618. Su interés estético consiste en que aúna la disimetría y la armonía.

– En la serie de Fibonacci, cada número es la suma de los dos anteriores (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…). A medida que avanzamos en dicha serie, la razón entre un número y el que le precede tiende hacia el número de oro 1,618; así, al llegar a 89/55, tenemos el resultado 1,618.

Veamos ahora cómo se trasladan a la música aquella proporción geométrica y esta serie aritmética. En lo que refiere a la sección áurea, se utiliza para lograr una proporción armoniosa entre las diferentes secciones de una obra (o de un movimiento de obra) y entre dichas secciones y la totalidad de la obra (o movimiento de obra). Aquí, ya no se trata de proporciones espaciales, sino de proporciones temporales que se calculan generalmente sumando pulsos, y no midiendo el tiempo con un reloj, porque, como bien escribe Ernö Lendvai, hemos de considerar que “la música respira con la pulsación métrica y no con la medida absoluta del tiempo. En música, el tiempo que pasa es más verificable por compases o tiempos, cuyo papel es más enfático, que por la duración de la ejecución”. Buenos ejemplos de utilización musical de la “divina proporción” lo constituyen los movimientos primero y tercero de la Música para cuerda, percusión y celesta y la Sonata para dos pianos y percusión de Bartók.

En cuanto a la serie de Fibonacci, que tanta conexión tiene con la sección áurea, puede utilizarse para establecer proporciones temporales, para crear perfiles melódicos o elaborar acordes y agregados armónicos. Muchos acordes y diseños melódicos de Bartók utilizan profusamente intervalos de segunda (mayor y menor), tercera menor, cuarta justa y sexta menor, que se corresponden, en número de semitonos, a 1, 2, 3, 5 y 8, respectivamente.

En 1954, Xenakis, que trabajaba desde 1947 como arquitecto en el estudio de Le Corbusier, utilizó, para componer Metastaseis, los recursos del Modulor –concepto ideado por Le Corbusier para adaptar las dimensiones de un edificio a la morfología humana; lo constituyen dos series paralelas de números cuya proporción es la sección áurea–. La originalidad aquí es que la sección áurea, además de participar en el control de las proporciones temporales, permite distribuir los glissandi masivos de cuerda de la primera parte de la obra. Así lo explica el compositor: “Tuve cuidado […] con los arranques de los glissandi que seguían leyes geométricas de aceleración (es decir de densidad creciente) y utilicé, en particular, la sección áurea (una serie de Fibonacci, en realidad) que hace que la densidad de los arranques de los glissandi aumente de manera rápida, exponencial. Para hacer que las cosas fuesen homogéneas y heterogéneas. […] Para que hu14 biese una trasformación continua del sonido, pero con una vida interna intensa”.

Xenakis utilizará también el cálculo de probabilidades -música estocástica- para elaborar sus grandes masas sonoras, masas en cuyo interior reside una extraordinaria actividad musical. A título de ejemplo, en Pithoprakta, compuesta inmediatamente después de Metastaseis, el cálculo de probabilidades permite elaborar y distribuir más de mil pizzicati-glissandi de cuerdas en uno de los fragmentos de la obra.

Fractalidad en la música

El acto de crear es un acto místico, del mismo modo
que la invención y el descubrimiento científicos ...

Francisco Guerrero Marín

Los fractales, término que acuñó el matemático Benoît Mandelbrot a finales de los años 1960, son una rama de la matemática que construye modelos que permiten estudiar sistemas tales como la forma de las cadenas montañosas y de las costas, las estructuras vegetales, la ramificación de los bronquios o las redes neuronales, sistemas aparentemente irregulares y fragmentados pero formados por la repetición de un mismo fenómeno a diferentes escalas.

Francisco Guerrero Marín, cuya obra constituye una de las aportaciones más originales de España a la música de la segunda mitad del siglo XX, fue un pionero en la utilización de los fractales en la composición musical. Sus obras, de escritura muy compleja y elaborada, poseen una gran tensión expresiva, pero siempre sometida al control de un pensamiento riguroso, en particular en lo relativo a la forma, considerada no como sucesión de secciones sino como proceso de expansión del material sonoro en el tiempo, a la manera de un organismo biológico. Desde mediados de los años ochenta, en obras como Rhea para doce saxofones (1988), Zayin II para trío de cuerda (1989) y Nûr para coro mixto (1990), desarrolló una técnica compositiva basada en los procedimientos de la geometría fractal. Así, con la ayuda de un programa informático, los elementos generadores, que Guerrero llama “semillas”, se reproducen a diferentes escalas mediante reglas de trasformación establecidas por el compositor, quien consigue de este modo una gran coherencia entre la macroforma y la microforma de la obra, entre las partes y el todo.

Al comienzo de los años 1980, Ligeti descubrió, gracias a los trabajos de Simha Arom y Gerhard Kubik, la organización rítmica tan peculiar de algunas músicas tradicionales africanas; se inició en el estudio de los fractales, de la mano del biofísico Manfred Eigen, y se interesó por las complejidades contrapuntísticas y rítmicas de la música occidental de finales del siglo XIV. Estos elementos influyeron en la música que compuso en este período, y en particular en el Concierto para piano y orquesta. El cuarto movimiento de esta obra, al que consideraba como el movimiento central, se inspira en las estructuras fractales, pero Ligeti matiza: “La geometría fractal exige la utilización de ordenadores. En el cuarto movimiento de mi Concierto para piano, he utilizado formas que presentan ciertas analogías con estructuras fractales, pero lo he hecho sin cálculos. Prefiero trabajar a mano: el arte no debe ser exacto. Me inspiro en datos científicos, sacados de la geometría o de las ciencias naturales, pero lo que hago es arte y no ciencia”.

No existe arte sin técnica, sin investigación, sin método, y la matemática también puede ser fuente de inspiración y proporcionar al compositor herramientas útiles y estimulantes, pero éste, como advierte Ligeti, debe conservar su libertad con respecto a los procedimientos y a los cálculos. La duda es fundamental para el creador, así como su intervención en todas las etapas del proceso compositivo, sobre todo si utiliza los recursos de la informática.

Cerraremos este texto con una curiosa anécdota. Un día que Wagner constataba que se estaba tocando su música en un tempo absurdo, los intérpretes le explicaron que habían respetado escrupulosamente sus indicaciones metronómicas. “Comprendí entonces –escribe Wagner– la incertidumbre de las relaciones entre matemática y música; y, desde entonces, no sólo dejé de lado el metrónomo, sino que me contenté con poner indicaciones muy generales acerca del movimiento principal, precisando sólo las modificaciones de este movimiento”.

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